Les énigmes du chat...

Enigme N° 129

Enigme proposée en version plus "simple" lors de la finale du Rallye Math Champagne-Ardenne 2007

Aïe ! Robot !

Fatigués de passer leur temps à fabriquer des robots, les terriens ont en janvier 2047 décidé de confier aux robots eux-mêmes cette lourde tâche.
Ils ont donc construit quelques exemplaires de trois sortes de robots (les robots « Alpha », « Béta » et « Gamma ») et sont retournés chez eux préparer leurs valises pour partir en vacances puisqu’ils n’avaient plus rien à faire.
En un an exactement :
· un robot « Alpha » assemble 11 robots « Béta »
· un robot « Béta » construit 5 robots « Alpha » et 2 robots « Gamma »
· un robot « Gamma » fabrique 3 robots « Alpha » et un certain nombre, toujours le même chaque année, de robots « Béta »
A la fin de l’année, dès que leur tâche est accomplie, les robots « Alpha », « Béta » et « Gamma » de l’année précédente sont démontés pour servir de pièces détachées et les robots nouvellement construits se mettent au travail.

Nous sommes en janvier 2049 et les robots qui ont travaillé l'année précédente viennent juste d’être démontés.
Il y a sur Terre à l’heure actuelle 595 robots « Alpha », 612 robots « Béta » et 226 robots « Gamma ».

Mais combien y avait-il de robots de chaque sorte au commencement, en 2047 ?

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

Bravo à Cécile, Matikouk, Evariste, Nabil, Flo, Neimadh, Fever, Flipouille 57, Ed et Jean-Sébastien, qui sont les premiers à avoir trouvé combien de robots "Alpha", "Béta" et "Gamma" ont été construits à l'origine.

Une constatation préalable : les robots "Gamma" ne sont produits que par les robots "Beta" (chaque robot "Beta" produisant 2 robots "Gamma" par an). Puisqu'en janvier 2049 il y a 226 robots "Gamma", en janvier 2048, il y avait 226/2 = 113 robots "Beta".

Chacun de ces 113 robots "Beta" a construit 5 robots "Alpha". Les 113 robots "Beta" de 2048 ont donc construit 5 x 113 = 565 robots "Alpha". Puisqu'il y avait 595 robots "Alpha" en 2049 et que ceux-ci ne sont produits que par les robots "Beta" et "Gamma", cela signifie que 595 - 565 = 30 robots ont été construits par les robots "Gamma" de 2048. Chaque robot "Gamma" produisant 3 robots "Alpha", il y avait donc 30/3 = 10 robots "Gamma" en 2048.

Les 10 robots "Gamma" de 2048 ayant forcément été produits par les robots "Beta" de 2047, il y avait en 2047 10/2 = 5 robots "Beta".

Ceux-ci ont produit en janvier 2048 5 x 5 = 25 robots "Alpha" (et 5 x 2 = 10 robots "Gamma", ce qu'on savait déjà).

Notons "n" le nombre de robots "Beta" produits par les robots "Gamma" chaque année et "G" le nombre de robots "Gamma" présents à l'origine en 2047.

Cherchons le nombre de robots "Alpha" existant en 2048. Il y en avait 25 (produits par des robots "Beta" de 2047) et 3 x G (produits par des robots "Gamma" de 2047) soit 25 + 3G. Ces robots "Alpha" de 2048 ont produit 11 x (25 + 3G) = 275 + 33G robots "Beta" en 2049. Les autres robots "Beta" de 2049 ont été fabriqués par les 10 robots "Gamma" de 2048. Puisqu'il y avait 612 robots "Beta" en 2049, on en déduit l'équation : 275 + 33G + 10n = 612, soit 33G + 10n = 337 et n = (337 - 33G)/10. Testons les premières valeurs possibles de G :

G	n=(337 - 33G)/10
0	33.7
1	30.4
2	27.1
3	23.8
4	20.5
5	17.2
6	13.9
7	10.6
8	7.3
9	4
10	0.7
11	-2.6

On constate que si G est supérieur à 10, n devient négatif... Inutile donc de chercher plus loin une valeur possible. Le seul cas où le nombre n est vraisemblable (un entier) est le cas où G = 9.

Il y avait donc 9 robots "Gamma" en 2047, et on sait maintenant que chaque robot "Gamma" produit 4 robots "Beta" par an.

Ces 9 robots "Gamma" de 2047 on produit 4 x 9 = 36 robots "Beta" en 2048. Puisqu'il y avait 113 robots "Beta" en 2048, 113 - 36 = 77 d'entre eux ont été produits par les robots "Alpha" de 2047. Il y avait donc 77/11 = 7 robots "Alpha" en 2047.