Les énigmes du chat...

Enigme N° 18

Un carré particulièrement magique...

Compléter un carré magique, rien de bien exaltant à priori...
Mais il se trouve que celui-ci a une propriété assez étonnante :
il est composé uniquement de nombres de deux chiffres, mais pour peu qu'on écrive ces chiffres de la manière suivante :

et qu'on retourne le tableau en se plaçant donc dans la position du joueur B, on obtient un second carré magique, complètement différent, mais qui curieusement possède la même somme magique que le premier.
(on rappelle que dans un carré magique, la somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale donne le même résultat, qui est la somme magique du carré.)

Vous en savez maintenant assez pour compléter ce carré !

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

Considérons la diagonale "presque" complète: 96 - 69 - ? - 81 et appelons "A" le nombre à placer à la place du point d'interrogation.
La somme des nombres de cette diagonale est 96 + 69 + A + 81, soit 246 + A...

Etudions maintenant la même diagonale après avoir retourné le carré. Elle devient 18 - ? - 69 - 96, où le point d'interrogation n'est plus "A" mais un nombre "B" obtenu en "retournant" le nombre "A" par une symétrie centrale.
La somme des nombres de cette diagonale est 18 + B + 69 + 96, soit 183 + B.

Sachant que les deux carrés magiques ont la même somme magique, la somme des nombres d'une diagonale dans le premier tableau est aussi la somme des nombres d'une diagonale dans le deuxième, donc :

246 + A = 183 + B
ou 63 + A = B.

Cherchons maintenant quels peuvent être ces nombres A et B. Compte tenu de l'écriture imposée des chiffres, ce peut être: 00 et 00, 06 et 90, 08 et 80, 09 et 60, 10 et 01, 11 et 11, 16 et 91, 18 et 81, 19 et 61, 66 et 99, 68 et 89, 69 et 69, 86 et 98, 88 et 88, 96 et 96, ou toute paire obtenue en échangeant les deux nombres. Mais le seul cas où l'écart entre les deux nombres est 63 est (18;81).

On en conclut donc que A = 18, B = 81, et que la somme magique est dans tous les cas 264.

A partir de là, compléter le carré devient un jeu d'enfant ! :

96	11	89	68
88	69	91	16
61	89	18	99
19	98	66	81

PS : Merci à Davy Régent qui m'a fourni ce carré !...