On voudrait
savoir si, dans le dessin ci-dessous, les droites (BN) et (AO) sont parallèles.
Le "grand"
triangle est BTN, et le "petit" triangle est
Pour que les droites soient parallèles, il faudrait que :
BT
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=
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Faisons
les calculs...
BT
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=
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50
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=
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D'autre part,
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=
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|
=
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On aurait donc envie d'écrire :
Puisque
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différent de
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NT
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|
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OT
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et
que les points T,
, B et T,
,
sont alignés dans cet ordre,
(AO) n'est pas parallèle à (
)
d'après la réciproque du théorème de Thalès.
Mais,
ultime subtilité, ce n'est pas
la réciproque du théorème de
Thalès qu'on utilise pour aboutir
à cette conclusion !
C'est le
théorème de Thalès,
ou la contraposée du théorème
de Thalès !
Pour
savoir pourquoi,
Ca y est ? Vous
êtes revenus ? Alors appliquons nos nouvelles connaissances
sur la réciproque et la contraposée au théorème
de Thalès...
En simplifiant un peu, le
théorème de Thalès
nous dit :
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condition
1
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condition
2
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Si
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(AO) parallèle à (BN)
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alors
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TB/TA
= TN/TO.
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La réciproque du théorème
de Thalès est donc :
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condition
2
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condition
1
|
Si
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|
alors
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.
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Quant à la contraposée
du théorème de Thalès, c'est :
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Négation
de la condition 2
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Négation
de la condition 1
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Si
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|
alors
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.
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Donc, pour montrer que deux
droites ne sont pas parallèles, c'est bien
qu'il faudrait utiliser.
La phrase correcte pour répondre à l'exercice du haut de
la page est par conséquent :
Puisque
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BT
|
différent
de
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NT
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|
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AT
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OT
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et que les points T, A, B
et T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle
à (BN)
d'après la contraposée du théorème de Thalès.
Mais comme on considère qu'une
propriété et sa contraposée ne sont en fait que deux
façons différentes d'affirmer la même chose, on écrira
souvent :
Puisque
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BT
|
différent
de
|
NT
|
|
|
AT
|
OT
|
et que les points T, A, B et
T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle
à (BN)
d'après le théorème de Thalès.