Il faudrait
savoir ! C'est la
réciproque, ou
le théorème !?...

 

 

On voudrait savoir si, dans le dessin ci-dessous, les droites (BN) et (AO) sont parallèles.
Le "grand" triangle est BTN, et le "petit" triangle est Pour que les droites soient parallèles, il faudrait que :

BT
 = 


Faisons les calculs...

BT
 = 
50
 = 

D'autre part,

 = 
 = 

On aurait donc envie d'écrire :

Puisque 
 différent de 
NT
OT
et que les points T, , B et T, , sont alignés dans cet ordre,
(AO) n'est pas parallèle à ( )

d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Mais, ultime subtilité, ce n'est pas la réciproque du théorème de Thalès qu'on utilise pour aboutir à cette conclusion !


C'est le théorème de Thalès, ou la contraposée du théorème de Thalès !

Pour savoir pourquoi,

 

 

Ca y est ? Vous êtes revenus ? Alors appliquons nos nouvelles connaissances sur la réciproque et la contraposée au théorème de Thalès...

En simplifiant un peu, le théorème de Thalès nous dit :

 
condition 1
 
condition 2
Si
(AO) parallèle à (BN)
alors
TB/TA = TN/TO.


La réciproque du théorème de Thalès est donc :

 
condition 2
 
condition 1
Si
alors
.

Quant à la contraposée du théorème de Thalès, c'est :

 
Négation de la condition 2
 
Négation de la condition 1
Si
alors
.


Donc, pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles, c'est bien
qu'il faudrait utiliser.
La phrase correcte pour répondre à l'exercice du haut de la page est par conséquent :

 

Puisque 
BT
 différent de 
NT
AT
OT

et que les points T, A, B et T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle à (BN)
d'après la contraposée du théorème de Thalès
.


Mais comme on considère qu'une propriété et sa contraposée ne sont en fait que deux façons différentes d'affirmer la même chose, on écrira souvent :

Puisque 
BT
 différent de 
NT
AT
OT
et que les points T, A, B et T, O, N sont alignés dans cet ordre, (AO) n'est pas parallèle à (BN)
d'après le théorème de Thalès
.