On voudrait savoir si, dans le dessin ci-dessous, le triangle
BUT est un triangle rectangle...
On aurait donc envie d'écrire :
Puisque BU²
+ BT² différent de UT², le triangle BUT n'est pas un
triangle rectangle d'après la réciproque
du théorème de Pythagore.
Mais, ultime subtilité,
ce n'est pas la réciproque
du théorème de Pythagore
qu'on utilise pour aboutir à cette conclusion !
C'est
le théorème de Pythagore, ou la
contraposée du théorème de Pythagore !
Pour savoir pourquoi,
Ca y est ? Vous
êtes revenus ? Alors appliquons nos nouvelles connaissances
sur la réciproque et la contraposée au théorème
de Pythagore...
En simplifiant un peu, le théorème
de Pythagore nous dit :
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condition
1
|
|
condition
2
|
Si
|
BUT
est rectangle en B
|
alors
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BU²
+ BT² = UT².
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La
réciproque du théorème de Pythagore
est donc :
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condition
2
|
|
condition
1
|
Si
|
|
alors
|
.
|
Quant à la contraposée
du théorème de Pythagore,
c'est :
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Négation
de la condition 2
|
|
Négation
de la condition 1
|
Si
|
|
alors
|
.
|
Donc, pour montrer qu'un triangle n'est
pas rectangle, c'est bien
qu'il faudrait utiliser.
La phrase correcte pour répondre à l'exercice du haut de
la page est par conséquent :
Puisque BU² +
BT² différent de UT², le triangle BUT n'est pas un triangle
rectangle
d'après la contraposée du théorème
de Pythagore.
Mais comme on considère qu'une
propriété et sa contraposée ne sont en fait que deux
façons différentes d'affirmer la même chose, on écrira
souvent :
Puisque BU² + BT² différent de UT², le triangle
BUT n'est pas un triangle rectangle
d'après le théorème de Pythagore.